Jenis-Jenis Pertidaksamaan

A. PERTIDAKSAMAAN LINIER (PANGKAT SATU)

Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier dalam x.

Penyelesaian:
Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta.

Contoh :
2x - 3 > 5 ® 2x > 5 + 3
                   2x > 8
                   2x > 2

B. PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL (BENTUK AKAR)

Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda akar.

Penyelesaian:

• Susunlah dahulu bila kedua ruas seimbang.
  (Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri, satu di ruas kanan; bila ada tiga tanda akar letakkan satu di ruas kiri, dua di ruas kanan atau sebaliknya).

• Kuadratkan kedua ruasnya.
  (tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah bilangan positif).

• Selesaikan pertidaksamaannya ................. (1)
  syarat: bilangan di bawah tanda akar harus non negatif (³ 0)...(2)
  (pembicaraan adalah mengenai bilangan riil)

• Jawabannya adalah yang memenuhi syarat (1) dan (2) di atas.

Contoh:

1. Ö(x-2) < 2
® kuadratkan
x - 2 < 4
x < 6
® syarat :
x - 2 ³ 0
x ³ 2

2 £ x < 6

2. Ö(-x + 3) - Ö(2x + 1) > 0

seimbangkan

Ö(-x+3) > Ö(2x+1)

® kuadratkan
-x + 3 > 2x + 1
3x < 2
x < 2/3

® syarat :
-x + 3 ³ 0 ® x £ 3
dan
2x + 1 ³ 0 ® x ³ -1/2

-1/2 £ x < 2/3

C. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT (PANGKAT DUA)

Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya :
ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a ¹ 0.

Penyelesaian:

• Jadikan ruas kanan = 0
  * Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
  * Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
  * Tetapkan nilai-nilai nolnya
  * Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
  * Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan
  (bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
  bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).

contoh:

x² + x - 2 > 0
(x + 2) (x - 1) > 0

x < -2 atau x > 1

D. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN

Yaitu pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x.

Penyelesaian:

• Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0
  (ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
  * Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
  * Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan ¹ 0

contoh :

-8 £ x <1

(2x + 7)/(x - 1) £ 1
(2x + 7)/(x - 1) - 1 £ 0
(2x + 7)/(x - 1) - (x - 1)/(x - 1) £ 0 ® (x + 8)/(x - 1) £ 0

syarat : penyebut (x-1) ¹ 0
x ¹ 1

E. PERTIDAKSAMAAN DERAJAT TINGGI (Derajat > 3)

Penyelesaian:

• Terlebih dahulu usahakan disederhanakan. Bila ada bentuk kuadrat yang definit (selalu) bernilai positif ( D < 0 ; a > 0) langsung dapat dihilangkan.Tanda pertidaksamaan tetap.
  Bila ada bentuk kuadrat yang definit negatif ( D < 0 ; a < 0) dapat dihilangkan asal tanda pertidaksamaannya berubah.

• Selanjutnya sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Dengan catatan, tanda pada garis bilangan akan berubah jika melewati harga nol yang tunggal (rangkap ganjil) dan tanda akan tetap jika melewati harga nol yang rangkap genap.

contoh:

1. (x - 1/2) (x² - 3x - 4) (x² - 6x + 9) < 0
(x -1/2) (x - 4) (x - 1) (x - 3)² < 0

x < 1 atau 1/2 < x < 3 atau 3 < x < 4

2. (3x² + x + 2)/(x² + 4x - 12) > 0
Bentuk (3X² + X + 2) adalah definit (selalu bernilai) positif, karena:
D = (1)² - 4(3)(2) = -23 dan a = 3
D < 0 dan a > 0
Sehingga (3x² + x + 2) dapat dihilangkan, soal menjadi

(+)/(X² + 4X - 12) > 0 ® (+)/(X + 6) (X - 2) > 0

X < -6 atau X > 2

F. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Yaitu pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak.

Batasan : |x| = x jika x > 0
0 jika x = 0
-x jika x < 0 keterangan : |x| ³ 0

masalah : menghilangkan tanda mutlak.

Penyelesaian:

Untuk a > 0
½x½< a « -a < x < a

½x½ > a « x < -a atau x > a

½x½ = a « x = ±a

secara umum:

menghilangkan tanda mutlak adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas

atau

|x| < a ® x² < a² ® x² - a² < 0 ® (x-a)(x+a) < 0 ® -a < x < a

|x| > a ® x² > a² ® x² - a² > 0 ® (x-a)(x+a) > 0 ® x<-a atau x>a

keterangan:

|x| < -a TM
|x| > -a "x

|a/b| < c « |a| < c|b|